À l'échelle planétaire, deux individus peuvent-ils posséder le même nombre de cheveux? Contrairement à ce que l'on pourrait croire, la réponse est oui, et ce même sans le vérifier expérimentalement. Scientific American explique qu'un seul théorème suffit à confirmer cette affirmation: le «principe des tiroirs» –pigeonhole principle en anglais–, aussi appelé le «principe de Dirichlet».
C'est tellement simple qu'on a du mal à le croire. Si l'on veut diviser x objets par y tiroirs, et qu'il y a plus d'objets que de tiroirs (x > y), alors plusieurs objets se retrouvent dans le même tiroir. Cette affirmation, qui ressemble plus à de la logique qu'à une formule de maths, a été découverte par l'universitaire français Jean Leurechon en 1622.
Mais comment vérifier si deux personnes ont bien le même nombre de cheveux sur la tête? Pour ce faire, il faut d'abord trouver le maximum de cheveux qu'une personne peut avoir. Selon la couleur, une personne peut avoir en moyenne entre 90.000 et 150.000 cheveux. Personne n'a plus d'un million de cheveux sur la tête.
À LIRE AUSSI
Peu importe le scénario, le résultat est toujours le même
Nous sommes huit milliards à vivre sur Terre, ce qui signifie qu'il y a de fortes chances pour que deux personnes aient le même nombre de cheveux. Du moins, jusqu'à ce que l'une d'entre elle se les brosse et en perde quelques-uns. Seulement, quelques coups de peigne plus tard, un autre groupe de personnes aura le même nombre de cheveux.
On peut également démontrer cette affirmation en prenant, par exemple, le minimum de personnes dans le monde ayant le même nombre de cheveux. Pour calculer ceci, il faut considérer deux cas extrêmes: d'un côté, le nombre de cheveux de chaque personne est identique (comme si tout le monde se rasait la tête simultanément) et de l'autre, un cas où le nombre de cheveux varie le plus possible.
Pour cet exemple, imaginez un million de pièces, numérotées dans l'ordre croissant. Chaque personne entre dans la pièce correspondant au nombre de cheveux sur sa tête. Si toutes les personnes possèdent le même nombre de cheveux (premier cas), elles finiront toutes dans la même pièce. Ainsi, huit milliards d'humains se trouveraient dans la même pièce alors que les 999.999.999 autres seraient vides.
Dans l'autre cas le plus extrême, les gens sont tellement différents que le moins possible se trouvent dans la même pièce. Mais alors, quel est le nombre minimum de personnes pouvant partager la même pièce? Pour le calculer, on peut remplir les pièces petit à petit. La première personne rentre dans la première pièce, puis la seconde dans la seconde, etc. En divisant huit milliards de façon égale dans un million de pièces, on se retrouve avec 8.000 personnes dans la même pièce.
Cela signifie que peu importe le nombre de personnes séparées et peu importe le scénario, la pièce la plus remplie contient toujours 8.000 personnes. Ainsi, on peut affirmer qu'il y a au moins 8.000 personnes ayant le même nombre de cheveux sur Terre.
Le principe des tiroirs démontre que même des affirmations qui semblent évidentes ont une grande valeur mathématique.
