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L'inversion de la courbe du chômage à l'épreuve des maths

Dans les Alpes italiennes, en 2006. REUTERS/Pawel Kopczynski

Dans les Alpes italiennes, en 2006. REUTERS/Pawel Kopczynski

Si la promesse de François Hollande est louable, elle est en revanche une aberration mathématique.

Ce jeudi matin, alors même que des millions de Français regrettaient leurs excès de la veille en se rendant laborieusement sur leur lieu de travail, et que la radio s’interrogeait «l’inversion de la courbe du chômage» (elle attendra: il y a eu 17.800 demandeurs d'emploi en plus enregistrés au mois de novembre, selon les chiffres diffusés par le ministère du Travail), je me suis souvenu que le physicien Étienne Klein avait dénoncé il y a quelques mois cette aberration mathématique. En maths, il est clair dès la fin du lycée que tout n’est pas inversible. Surtout pas la courbe du chômage telle qu’on la connaît.

L’envie d’inverser la courbe du chômage est louable mais aussi le terme est impropre: il s’agirait déjà de l’infléchir, c’est-à-dire de la faire repartir durablement à la baisse alors qu’elle a au contraire une fâcheuse tendance à monter encore et encore. Une fonction croît lorsque sa dérivée (par rapport au temps, puisque le nombre de chômeurs nous est donné en fonction du temps, mois après mois) est positive; lorsque celle-ci devient nulle, c’est que la courbe du chômage s’est stabilisée; mais le gouvernement ne peut se frotter les mains que lorsque la dérivée de la fonction chômage devient négative.

Pas d’inverse qui tienne: il s’agit de faire changer le signe de la dérivée, c’est-à-dire que le nombre dérivé soit négatif en chaque point alors qu’il était jusque là positif. On peut alors, et à l’extrême rigueur, parler d’opposé (notion liée au changement de signe), mais certainement pas d’inverse.

La confusion n’est pas franchement étonnante: dès le collège, les élèves mélangent fréquemment les deux notions. L’inverse d’un nombre x non nul (c’est-à-dire différent de zéro, pour ceux qui ne connaîtraient pas l’expression) s’écrit 1/x, tandis que l’opposé de x (qui peut cette fois être nul) s’écrit –x. Charge à Vincent Peillon de tirer les oreilles de Michel Sapin et François Hollande afin qu’ils ne donnent pas de mauvais réflexes à nos chères têtes blondes de par leur emploi abusif du terme «inverse».

En étant un brin moins optimistes, on peut aussi imaginer que Hollande et Ayrault aient pour premier objectif de voir le chômage augmenter moins rapidement qu’auparavant: il faut alors s’attarder sur la dérivée seconde de la fonction (c’est ainsi qu’on nomme la dérivée de la dérivée).

Lorsque cette dérivée seconde est négative, la pente de la courbe diminue, ce qui peut mener à la stagnation pour que la tendance se confirme. Mais si la dérivée seconde est positive, rien à faire: Sarkozy ou Copé ou Fillon peuvent se réjouir et préparer sereinement, tapis dans l’ombre, leur future victoire de 2017. Un chômage qui augmente de plus en plus vite, c’est une France qui fait grise mine et un gouvernement qui fait ses cartons.

Brièvement, Étienne Klein pousse le raisonnement plus loin: si chaque dérivée est positive, signe d’une évolution inquiétante, il est toujours possible de se rabattre modestement sur la dérivée suivante comme la dérivée troisième, qui n’est rien de moins que la dérivée de la dérivée de la dérivée. En s’intéressant toujours au signe et en croisant les doigts pour que celui-ci soit négatif, on finira bien par dégager une information plus optimiste que les précédentes du genre «tout va bien, le nombre de chômeurs continue à augmenter, mais l’accélération de l’accélération de l’accélération est moins impressionnante qu’en décembre 2009 ».

En début de chronique, Klein propose de s’intéresser tout bêtement à la fonction 1/f, où la fonction f représenterait l’évolution du nombre de chômeurs en fonction du temps. Précision mathématique: cette fonction n’existe que quand le nombre de chômeurs est différent de zéro; la France n’est hélas pas près de se retrouver confrontée à ce genre de restriction. L’inverse porte alors parfaitement son nom puisque tout se passe exactement a contrario de la réalité. Ainsi, quand le chômage augmente lentement comme c’est souvent le cas depuis quelques années, inverser la courbe permettrait de provoquer soudain une diminution fulgurante du nombre de chômeurs.

De la même manière, on pourrait passer d’une augmentation rapide à une lente diminution. Le rêve absolu pour tout chef d’État pris dans la spirale de la précarité: en un claquement de doigts, on inverse alors complètement la tendance.

En rappelant que la courbe actuelle du chômage peut correspondre à celle d’une fonction f définie en fonction du temps, la fonction mathématique idéale C correspondant au chômage d’un pays florissant serait donc la suivante:

C (t)     = f (t) pour tout t tel que f’(t) est inférieur ou égal à 0

= 1/f (t) pour tout t tel que f’(t) est supérieur à 0

Autrement dit: quand le pourcentage de chômeurs en France diminue de lui-même, on n’y touche pas, et quand il augmente, on appuie sur le bouton magique qui permet d’inverser le chômage (et donc de le faire diminuer comme expliqué précédemment). Une recette à n’utiliser qu’à l’avenir: l’appliquer aux chiffres passés du chômage créerait une fonction discontinue, biscornue, improbable.

En revanche, dès les prochains chiffres du chômage connus, l’Insee devrait les envoyer en douce à l’Élysée, ce qui permettrait au président Hollande d’appliquer tranquillement la fonction C proposée ci-dessus avant que les journalistes ne s’emparent de ces statistiques pour en faire leurs choux gras.

Un exemple : si le taux de chômage passe à 11% au dernier trimestre 2013 (contre 10,5% au troisième trimestre, ce qui serait une nouvelle apocalyptique), un bref calcul permet d’estimer que le morceau de courbe entre le troisième trimestre (noté 2013,75 pour marquer les trois quarts de l’année) et le dernier trimestre (noté 2014) est un bout de fonction affine d’équation y = 2x – 4017.

Et hop, bouton magique: grâce à notre fonction C, on obtient un petit morceau d’hyperbole d’équation y = 1 / (2x – 4017) qui permet à François Hollande de s’enorgueillir d’un pourcentage de chômeurs égal à environ 0,09% au dernier trimestre 2014 (remplacez x par 2014 ou, plus simplement, calculez l’inverse de 11). À se demander comment personne n’y avait pensé plus tôt…

Thomas Messias

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