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Comment gagner à tous les coups au loto grâce aux maths

Les boules de l'Euromillion en 2004. REUTERS/ Charles Platiau

Les boules de l'Euromillion en 2004. REUTERS/ Charles Platiau.

Il suffit de jouer toutes les combinaisons possibles. Mais ça va être trop tard pour la super cagnotte de ce vendredi 13.

Comme chaque vendredi 13, la Française des Jeux propose un tirage exceptionnel du Super Loto à 13 millions d'euros. Nous republions à cette occasion un article du 13 décembre 2013 sur la meilleure façon de gagner le jackpot sur ce genre de tirages.

Parce qu’il faut bien tenter de répondre quelque chose à vos élèves lorsqu’ils vous demandent à quoi servent les mathématiques, il m’arrive de survendre un peu ma discipline afin que demeure un minimum d’intérêt dans les yeux de mon cher public. C’est très simple, mes petits potes: les maths, ça peut rendre riche. Très riche. Il suffit pour cela de jouer au Loto.

Comme chaque vendredi 13, la Française des Jeux propose un tirage exceptionnel pour son Super Loto, offrant au minimum 13 millions d'euros à qui cochera les 6 bonnes cases de son bulletin. Au passage, il y a de quoi regretter que la fameuse journée porte-bonheur soit le 13, alors que le 30 ou le 31 auraient été nettement plus lucratifs pour les gagnants éventuels.

Qu’on ne s’y trompe pas: le matheux n’est pas un devin, et ses connaissances en probabilités ne peuvent en rien l’aider à deviner la combinaison gagnante. Surveillé de près par un huissier qui ne plaisante pas (pléonasme), le tirage du Loto ne laisse de place qu’au hasard: tous les nombres ont absolument la même chance d’être tirés. L’équiprobabilité, ça s’appelle.

Non, il faut être plus malin que cela, à l’image de ce que tenta en 1992 Stefan Mandel, mathématicien et économiste d’origine roumaine. Il s’agit tout simplement de décider d’être plus fort que le système en jouant, en toute simplicité, toutes les combinaisons possibles.

De la Roumanie jusqu’à l’Australie, Mandel a fait du Loto sa principale marotte dès les années 1960. Germant rapidement dans son esprit, l’idée de jouer toutes les combinaisons possibles pour rafler la mise à coup sûr se heurta à deux contraintes de poids.

Premièrement, si la somme nécessaire pour valider tous les billets était supérieure à la somme à gagner, mieux valait laisser tomber aussitôt. Deuxièmement, il lui fallait trouver un système pour jouer toutes les combinaisons en un temps limité en s’assurant de ne pas faire de doublon et de n’oublier aucune possibilité.

Ecumant les loteries afin de trouver la cible idéale, Mandel prit également le temps de peaufiner un bel algorithme sur son ordinateur détaillant toutes les combinaisons possibles. Se trouvant une ribambelle de complices prêts à l’aider à remplir une mission ô combien chronophage, et utilisant une somme non négligeable prêtée par un mécène séduit par la beauté du projet, Mandel put tirer profit de son savoir mathématique.

Il finit par mettre le doigt sur une loterie organisée par l’Etat australien de la Virginie. Pour rafler les 28 millions promis, il «suffisait» de jouer 7.059.052 grilles à 1 dollar pièce. C’est là que les mathématiques interviennent: d’où vient ce nombre?

La formule C = n ! / ( (n p) ! x p ! ) permet de calculer de combien de façons on peut choisir p éléments dans un ensemble à n éléments.

Un exemple: si je possède 10 t-shirts et que je dois en emmener 4 en week-end, le nombre de choix différents que je peux faire est donné par

C (10 ; 4) = 10 ! / ( (10 – 4) ! x 4 ! ) = 10 ! / (6 ! x 4 !).

J’en vois certains faire les gros yeux: que font ces points d’exclamation dans un calcul mathématique? Ils désignent la factorielle du nombre qui les précède, c’est-à-dire le produit de tous les entiers compris entre 1 et ce nombre.

Par exemple, 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Le calcul C (10 ; 4) nous donne donc, en simplifiant astucieusement ou en s’aidant d’une calculatrice, un total de 210 façons différentes de choisir 4 t-shirts parmi les 10 que je possède.

Revenons à la loterie de l’Etat de Virginie, où il est demandé de cocher 6 numéros dans une grille de 44. Le nombre de grilles différentes est donc:

C (44 ; 6) = 44 ! / ( (44 – 6) ! x 6 ! ) = 44 ! / ( 38 ! x 6 ! )

Pour effectuer ce calcul sans passer deux heures sur la calculatrice, il convient de simplifier la fraction au préalable. En détaillant le calcul, on réalise que tous les nombres entiers entre 1 et 38 figurent à la fois en haut et en bas de la fraction (au numérateur et au dénominateur, si ça vous rappelle quelque chose). Une éradication autorisée de tous ces doublons donne alors le résultat suivant: C (44 ; 6) = (44 x 43 x 42 x 41 x 40 x 39) / (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6), ce qui mène aux fameuses 7.059.052 grilles. Vous savez tout.

Attribuant une partie de ces 7 millions de combinaisons et des poussières à 35 de ses camarades de jeu, Mandel eut quelques sueurs froides lorsqu’il comprit, par manque de temps, que seules 5 millions de combinaisons allaient pouvoir être jouées à temps. 70% de chances de gagner le gros lot, 30% d’être ruiné; heureusement pour Mandel, les dieux du tirage étaient de son côté et lui permirent de triompher.

Par la suite, traqué par le gouvernement australien alors qu'il n'avait enfreint aucune loi, Mandel finit ruiné par un excès de taxes qui semblèrent avoir été créées rien que pour lui. Toujours fasciné par ce beau système, et de plus en plus excité par le goût du risque, il échafauda des théories visant à trouver le nombre idéal de grilles à remplir pour optimiser ses chances de gagner sans pour autant passer des semaines à jouer toutes les combinaisons possibles. Suivi par une horde de parieurs professionnels, Mandel en mena plus d’un à sa perte. 

La méthode Mandel a cependant de quoi donner des idées. Et si on tentait de remporter à tout prix le Super Loto de ce vendredi, que se passerait-il?

La réponse est hélas assez simple. Un bref rappel des règles pour commencer: le Loto français, c’est une grille de 49 numéros (pour 5 numéros à cocher) accompagnée d’une deuxième grille, de 10 numéros cette fois, dans laquelle il faut cocher une seule case.

 

Appliquons la formule vue plus haut pour déterminer le nombre de façons différentes de remplir la grille principale:

C (49 ; 5) = 49 ! / ( (49 – 5) ! x 5 ! ) = 49 ! / (44 ! x 5 !) = (49 x 48 x 47 x 46 x 45) / (1 x 2 x 3 x 4 x 5) = 1.906.884

Comme il y a 1 chance sur 10 de trouver le bon numéro dans la seconde grille, cela donne 19.068.840 grilles différentes, ce qui commence à sentir sérieusement le roussi. Car aucun donateur ne serait assez inconscient pour prêter 19 millions d’euros afin de tenter d’en récupérer 13... Même en ajoutant les milliers de gains des rangs suivants, c’est peine perdue.

Quand je raconte à mes élèves que savoir calculer peut permettre d’être riche, je leur mens donc un peu. Mais pas tout à fait. La méthode Mandel, qui consiste à ne jouer qu’une partie des combinaisons pour gagner enfin l’argent convoité, est risquée mais vaut le coup d’être étudiée.

Si on décide de jouer toutes les combinaisons possibles de la grille de 49 numéros sans s’intéresser à la grille du Numéro Chance, il n’y a plus «que» 1.906.884 possibilités. La probabilité de rafler le jackpot est alors de 10%, sans compter le fait qu’on est certain de faire partie des gagnants de tous les rangs suivants. Environ 200.000 euros au deuxième rang (5 bons numéros), sans doute encore 200.000 euros au rang suivant grâce aux 220 grilles gagnantes, puis environ 100.000 euros grâce aux 9.460 grilles gagnantes à 3 bons numéros, et encore plus de 230.000 euros grâce aux 132.440 grilles à 2 numéros[1] (qui rapportent chacune 2 euros). Au total, on est certain de récupérer plus de 700.000 euros tout en ayant une chance sur dix de gagner les 13 millions (ou en tout cas de les partager avec d’autres gagnants éventuels).

C’est un choix de vie: on peut emprunter 2 petits millions d’euros, dont un tiers sera remboursé à coup sûr après le tirage de vendredi soir, et prier pour tomber sur LE bon numéro sur les 10 possibles (chance élevée de réussir, mais chance de se planter encore plus élevée). Ou bien on peut faire un Loto Flash à 1 euro en sortant du boulot, perdre avec les honneurs et se dire qu’au moins, on n’a pas hypothéqué l’avenir de ses enfants.

De toute façon, c’est trop tard pour tenter le coup pour le Super Loto de ce vendredi soir: même s’il suffisait d’une seule seconde pour remplir et faire valider chaque grille, il faudrait ne faire que ça pendant plus de 22 jours non-stop pour atteindre l’objectif des 1.906.884 bulletins cochés. Puis il faudrait rentrer chez soi avec dans sa brouette un joli tas de billets d’environ 200 mètres de haut.

A quoi servent les maths, les enfants? Peut-être pas à devenir riche comme Crésus, mais en tout cas à calculer plein de trucs aussi rigolos qu’inutiles.

1 — Mise à jour: Une petite erreur nous a fait nous emmêler dans les chiffres. Il faut bien lire 9.460 grilles gagnantes à 3 bons numéros et 132.440 grilles à 2 numéros. Toutes nos excuses aux lecteurs. Retourner à l'article

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