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Pourquoi il faut s’enthousiasmer du nouveau record du plus grand nombre premier

Konstantin Kakaes, mis à jour le 02.04.2013 à 18 h 18

Se borner à trouver un grand nombre premier est une énigme amusante à résoudre, mais qui ne dit rien sur la façon dont fonctionne le monde. Les structures derrière les premiers, toutefois...

Quelques-uns des 17.425.170 chiffres du plus grand nombre premier découvert.

Quelques-uns des 17.425.170 chiffres du plus grand nombre premier découvert.

Les nombres premiers, nombres entiers qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et par 1, sont le chemin le plus simple vers la compréhension de la rigueur, aussi bien que du mysticisme, des mathématiques. La démonstration faite par Euclide qu’il existe un nombre infini de nombres premiers est à la fois l’une des démonstrations mathématiques la plus simple et un des plus anciennes.

Fin janvier, Curtis Cooper de l’université du Missouri du Centre a fait un petit pas de plus vers l’infini d’Euclide en annonçant que 257,885,161-1 est un nombre premier. C’est aujourd’hui le nombre premier le plus grand que l’on connaisse, détrônant le record précédent, découvert à UCLA en 2008. Le nouveau nombre possède 17.425.170 chiffres –l’écrire entièrement reviendrait à créer un fichier texte de 22,45 mégaoctets.

Le nombre découvert à UCLA avait lui-même éclipsé le précédent record de Cooper, datant de 2006. Pour plagier (avec nos excuses) Magnetic Fields, le livre des premiers est aussi long qu’ennuyeux, mais tout nouvel ajout constitue l’occasion idéale d’y chercher sa musique intérieure.

Entre Cooper et l’équipe d’UCLA, on s’échange la pole position, le tout dans le cadre d’un effort commun connu sous le nom de GIMPS, acronyme de «Great Internet Mersenne Prime Search», la grande chasse aux premiers de Mersenne –les nombres premiers de Mersenne s’expriment sous la forme suivante: 3=22-1 , 7=23-1 ou 31=25-1, à savoir des puissances de deux auxquelles on soustrait un.

La grande majorité de ces nombres ne sont pas des premiers, mais sont néanmoins de bons candidats dont il faut vérifier la primalité. Les dix nombres premiers les plus grands sont tous des nombres de Mersenne.

En dépit du fait que les mathématiciens ne puissent savoir si tel ou tel grand nombre est un premier tant qu’ils ne l’ont pas vérifié, la distribution statistique des premiers est aujourd’hui bien comprise. Elle fut l’un des problèmes centraux des mathématiques du XIXe siècle. Nombre de géants de l’histoire des mathématiques –Euler, Legendre, Dirichlet, Gauss, et Riemann entre autres– ont travaillé à une expression permettant de décrire cette distribution, qui allait être connue sous le nom de Théorie des Nombres Premiers.

Ce qu’il y a de remarquable dans ces efforts, c’est le fait qu’ils ont établi des liens extrêmement surprenant entre des questions discrètes –comment se comportent les premiers– et des questions analytiques –comment agissent les fonctions continues de nombres réels.

L’article de Riemann Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée est souvent cité par les mathématiciens comme l’un des plus importants de l’histoire sur le sujet (pour un récit lisible et charmant sur Riemann et ses idées mathématiques, lisez «Prime Obsession»; j’en ai interviewé l’auteur ici).

Mais Riemann n’a pas prouvé le Théorème des Nombres Premiers, qui borne strictement l’intervalle dans lequel on peut trouver de grands nombres premiers. Il a fallu pour cela attendre 1896 et les mathématiciens Jacques Hadamard et Charles Jean de la Vallée-Poussin, respectivement français et belge, qui chacun de leur côté on fait la démonstration du théorème.

Des décennies durant, le comportement des nombres premiers fut l’une des questions centrales des mathématiques d’un point de vue intellectuel et esthétique, bien que ne présentant pas un intérêt pratique majeur. Les choses ont changé quand Ron Rivest, Adi Shamir et Leonard Adelman, trio de jeunes professeurs du MIT, ont publié en 1977 un article décrivant un nouvel algorithme de cryptographie.

L’idée était révolutionnaire (même si elle s’appuyait sur un article précédent de Whitfield Diffie et Martin Hellman à Stanford). L’algorithme RSA (des initiales des auteurs) constituait l’un des premiers systèmes cryptographiques à clé publique, qui rendait facile de crypter un message, mais difficile de le décrypter, jetant les bases du commerce électronique moderne. Il repose sur la connaissance des grands nombres premiers.

D’un point de vue pratique, les nombres utilisés ne sont généralement pas aussi grands que le mastodonte de Cooper, dont la vérification a demandé 39 jours de calcul, même si les trois confirmations faites ensuite n’ont pris que 3,6, 4,5 et 7,7 jours —ce qui reste trop long pour faire ses courses sur le Net.

La fascination mathématique pour les nombres premiers vient de la façon dont ils révèlent la structure cachée du monde. Dans son article, Riemann évoque la façon dont leur distribution est associée à ce qu’on a appelé par la suite la fonction zeta de Riemann. La fonction zeta, objet de l’hypothèse de Riemann et problème non résolu le plus important des mathématiques, est le sujet du livre Prime Obsession.

L’attrait de l’hypothèse de Riemann (et des mathématiques, en général), n’est pas qu’on pourrait créer des emplois, des lasers ou des algorithmes informatiques plus efficaces en la résolvant. Comme l’a écrit le mathématicien britannique G.H. Hardy, «les mathématiques sont rarement d’utilité pratique». Ce que cherchent Hardy et les autres mathématiciens, c’est un «très haut degré d’inattendu, associé à un caractère inévitable, et de l’économie». Ou, comme le présente également Hardy: «La vérité joue des farces curieuses.» Lorsque ces farces, comme dans le cas du RSA, finissent par être utile, c’est du nanan.

Effectivement, la fonction zeta est capable de farces plutôt curieuses, par exemple de refléter le comportement de matrices aléatoires de grande taille qui laissent les mathématiciens incrédules. Il est difficile de faire comprendre cette incrédulité à quiconque ne parle pas les mathématiques, mais cela équivaut à voir en football américain un demi-offensif suivre une ligne élusive traversant l’ensemble de la défense adverse et marquer un touchdown au final. Sauf que, plutôt qu’un moment fugitif de perfection esthétique, les connexions mathématiques révélées ne sont pas le résultat de règles complexes établies par des gens, mais sont universelles et permanentes.

Se borner à trouver un grand nombre premier est une énigme amusante à résoudre, mais qui ne dit rien sur la façon dont fonctionne le monde. Les structures derrières les premiers, toutefois, aussi bien celles qui ont été démontrées et celles que l’on ne fait que suspecter, sont les prismes au travers desquels l’humanité peut appréhender les vérités profondes et mal connues sur la façon dont est structurée la réalité.

Konstantin Kakaes

Traduit par David Korn

Konstantin Kakaes
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