Sciences

Jetez vos calculatrices: un tube et des balles suffisent à approcher le nombre pi

Temps de lecture : 2 min

Bon, pas n'importe quelles balles.

Cat through a cardboard tube | Nolan Caudill via Flickr CC License by
Cat through a cardboard tube | Nolan Caudill via Flickr CC License by

Comme chaque 14 mars, il est de bon ton de célébrer le Pi Day, jour consacré au nombre pi. Au format américain, la date du jour s'écrit en effet 3·14, comme les premiers chiffres de ce qu'on appelle aussi la constante d'Archimède. Chez NewScientist, on tente de célébrer cette journée fondamentale en mettant en avant des façons originales et astucieuses de déterminer les premières décimales de ce nombre.

Il suffit par exemple de se munir d'un tube en carton, comme celui dans lequel on enroule les affiches, et d'un lot de balles. Attention, c'est technique: celles-ci ne doivent pas être choisies à la légère. Il faut en fait disposer de deux balles de masse égale, puis d'une balle cent fois plus légère, d'une autre balle cent fois plus légère que sa voisine, et ainsi de suite. Il n'est pas dit que vos enfants, si vous en avez, disposent de ce genre d'attirail dans leur coffre à jouets.

L'idée provient du mathématicien Gregory Galperin, qui a beaucoup travaillé sur les liens entre maths et billard, et qui a fini par se dire qu'il disposait là d'une nouvelle façon d'approcher le nombre valant environ 3,141592653589793. Son idée doit autant aux mathématiques qu'aux sciences physiques, puisqu'elle fait intervenir la loi de conservation de l'énergie.

La première étape consiste à placer le tube à l'horizontale, une extrémité contre un mur. On introduit alors deux balles de masse égale dans le tube. Pour simplifier, on imaginera que la balle la plus proche du mur est rouge, et que l'autre est bleue.

Il faut alors faire rebondir la balle bleue contre la rouge, assez fort pour que se produisent trois collisions. D'abord, la balle bleue frappe la rouge, puis la rouge vient heurter le mur, avant de télescoper de nouveau la balle bleue. Trois est le nombre de collisions, mais c'est aussi le chiffre des unités du nombre pi.

Compter les collisions

Pour obtenir une valeur plus précise, il suffit de remplacer la balle rouge par une balle cent fois plus légère. Appelons-la la balle blanche, puisque, comme l'imagine New Scientist, il pourrait s'agir d'une balle de tennis de table. En reproduisant la même expérience, voilà alors ce qui se produit, si l'on en croit les expériences menées par Gregory Galperin: frappée par une balle bleue cent fois plus lourde qu'elle, la balle blanche multiplie les allers-retours entre la bleue et le mur. Si vous comptez le nombre de collisions qui se produisent, vous devriez en compter trente-et-une. Trois. Un. Comme les deux premiers chiffres de pi.

D'après Gregory Galperin, on peut poursuivre ainsi en prenant une balle cent fois plus légère que la balle blanche, donc 10.000 fois moins lourde que la bleue, et obtenir un total de 314 collisions. Comme dans trois virgule quatorze. À chaque fois qu'on choisit une balle cent fois plus légère que la précédente, on obtient apparemment une décimale supplémentaire. De quoi occuper nos longues journées de confinement.

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