Sciences

La «quadrature du cercle», bien plus qu'un problème de carré et de rond

Temps de lecture : 4 min

Chaque 14 mars (3/14), l'univers célèbre le nombre Pi. À peu près égal à 3,141592653589793238462643, il est au cœur de la question de la «quadrature du cercle».

Arlequin Pi | fdecomite via Flickr CC License by
Arlequin Pi | fdecomite via Flickr CC License by

Je me souviens d'un voisin de mes grands-parents qui employait à tout bout de champ l’expression suivante: «C’est la quadrature du cercle». De l'organisation parfaite de son potager à la qualification du Paris Saint-Germain face au Real Madrid, tout ce qui lui semblait irréalisable finissait par se résumer à une histoire de carré et de rond.

Gamin, je n’ai jamais osé lui demander ce qu’il entendait par là, d’autant que cela semblait surtout relever du tic de langage. Quoi qu’il en soit, ces quelques mots m’impressionnaient: ils semblaient dissimuler quelque chose de très compliqué.

C'est la trisection de l'angle!

Pas très curieux de nature, et trop jeune pour comprendre un tel problème, j’avais tout de même envie d’aller plonger dans de gros livres de maths pour tenter de comprendre de quoi il s’agissait –ce que je n’ai finalement fait que de longues années après.

Au fil du temps, j’ai fini par croire que la quadrature du cercle était un problème consistant à faire entrer un carré dans un cercle –ou le contraire. Ça ne m’avait pas l’air si compliqué, mais il devait sans doute y avoir des variantes.

Ce n’est que bien plus tard qu’on a enfin daigné m’expliquer. Dans le langage courant, l’expression «c’est la quadrature du cercle» aurait très bien pu laisser place à «c’est la trisection de l’angle» ou à «c’est la duplication du cube», qui n’ont visiblement pas été retenues.

Ce trio de dénominations fait référence aux trois grands problèmes de l’Antiquité, posés par des mathématiciens de la Grèce Antique qui se demandaient si un certain nombre d’éléments géométriques étaient constructibles à la règle et au compas.

Trois millénaires pour trouver la solution

Dans le cas de la quadrature du cercle, il s’agit de considérer un cercle de rayon donné. Pour simplifier, admettons que le rayon de ce cercle soit égal à un centimètre. L’aire d’un disque étant égale au produit du carré du rayon par le nombre pi, c’est-à-dire pi r², notre disque a donc une aire égale à pi centimètres carrés.

Ah oui, dans le vocabulaire mathématique, dès qu’on évoque des histoires de surfaces, on ne doit plus dire «cercle» mais «disque». Alors qu'on parle pourtant bel et bien de quadrature du cercle. Ne cherchez pas à comprendre.

Le principe du problème de la quadrature du cercle, c’est d’arriver à fabriquer à la règle et au compas un carré dont l’aire soit exactement égale à celle du cercle décrit plus haut. L’aire d’un carré étant égale au carré du côté c, on doit donc avoir l’égalité suivante: c² = pi (r étant égal à 1 dans notre exemple), d’où le fait que la longueur c doit être égale à la racine carrée du nombre pi.

Est-il possible de construire un tel carré? Il a fallu près de trois millénaires pour démontrer que non.

C’est en effet en 1882 que la démonstration de l’impossibilité de la quadrature du cercle a été démontrée. L’Allemand Ferdinand von Lindemann a réussi à prouver que le nombre pi n’est pas algébrique, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers.

Par exemple, le nombre racine de 2 est algébrique: si on remplace x par cette valeur dans le polynôme x² - 2, on obtient la valeur zéro, ce qui signifie qu’il est bien une racine de ce polynôme. Il n’est pas possible de trouver un tel exemple pour pi.

La transcendance de pi

Un théorème démontré en 1837 par le Français Pierre-Laurent Wantzel occupe alors un rôle crucial: il affirme que tout nombre constructible à la règle et au compas est algébrique.

En conséquence, puisque pi n’est pas algébrique –on dit aussi qu’il est transcendant–, sa racine carrée ne l’est pas non plus… et elle n’est donc pas constructible à la règle et au compas. Fin de l’histoire.

Entre temps, de nombreux mathématiciens ont pourtant cru avoir trouvé une solution au problème de la quadrature du cercle. Objet de fascination, tout comme les deux autres problèmes de l’Antiquité, la quadrature du cercle finit par créer tant d’émoi que l’Académie des sciences de Paris finit par publier ce communiqué en 1775:

«L’Académie a pris, cette année, la résolution de ne plus examiner aucune solution des problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l'angle ou de la quadrature du cercle, ni aucune machine annoncée comme un mouvement perpétuel.»

L’une des confusions régulièrement constatées provenait de candidats confondant tôt ou tard pi et ses valeurs approchées, aussi précises soient-elles. Or tout l’enjeu du problème réside justement dans le fait d’obtenir exactement cette valeur si mystérieuse, aux décimales imprévisibles. Même le philosophe Thomas Hobbes y alla de sa tentative en 1665, avec une proposition qu’il n’y a nul besoin d’étudier aujourd’hui pour savoir qu’elle n’était pas exacte.

Fascination et récompense

Le problème a véritablement fasciné dans toutes les sphères intellectuelles, notamment en raison d’une information erronée faisant état d’une importante récompense versée à qui percerait le mystère de la quadrature du cercle. Si la quadrature du cercle est intimement liée à des problèmes de détermination de la longitude en mer, pour laquelle le parlement britannique offrit effectivement des récompenses au début du XVIIe siècle, il n’est dit nulle part que la résolution du problème en lui-même serait rémunératrice.

Même si je le recroisais aujourd’hui, je n’embêterais pas le voisin de mon grand-père avec ces quelques considérations mathématiques un peu trop complexes. Peut-être lui expliquerais-je quand même, à l’occasion, que la quadrature du cercle n’a rien à voir avec le fait de placer un carré dans un cercle, à l'image de ce que font tous les jeunes enfants qui découvrent les formes avec des jeux à emboîter. Pas sur un ton professoral, mais pour le remercier d’avoir éveillé chez moi, quelques décennies plus tôt, une forme de curiosité ayant peut-être contribué à me pousser vers les mathématiques.

Thomas Messias Prof de maths et journaliste

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