Science & santé

Côté cœur, l'infinité supposée des nombres premiers «en couple»

Thomas Messias, mis à jour le 19.10.2017 à 16 h 56

Si Euclide a démontré qu'il y avait une infinité de nombres premiers, ceux-ci se font de plus en plus rares lorsqu'on avance dans les grands nombres. Pourtant, le monde des mathématiques est peu à peu en train de prouver que, même dans l'infiniment lointain, on pourra trouver des couples de nombres entiers qui avancent main dans la main.

Numbers | morebyless via Flickr CC License by

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Si on m’interrogeait sur l’utilité d’approfondir encore et encore l’étude des nombres premiers, j’aurais envie d’apporter deux types de réponse. En premier lieu, il y a le fait que ces nombres jouent un rôle primordial dans l’élaboration de systèmes de cryptage extrêmement difficiles à hacker. Le chiffrement RSA, très utilisé dans le commerce électronique, se sert par exemple du produit de deux nombres premiers immensément grands comme clé de sécurité.

Il y aurait également une réponse plus abstraite, pour ne pas dire philosophique, à apporter. Mais reprenons depuis le départ. Un nombre premier, c’est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs distincts: 1 et lui-même. Par exemple, le nombre 61 est premier car le seul produit de deux nombres entiers égaux à 61 est celui de 61 par 1. En revanche, le nombre 51 ne l’est pas car il s’écrit 51 x 1 mais également 17 x 3. Précision importante: 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur: 1.

Passés au crible

Les premiers nombres premiers sont donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Il est possible d’en commencer la liste avec des élèves de collège grâce à la méthode du crible d’Eratosthène. Le principe est d’écrire une liste de nombres entiers consécutifs en partant de 1. Après avoir rayé 1, on conserve 2, qui est premier, puis on barre tous ses multiples. On procède ensuite de la même façon le prochain nombre non rayé, puis le suivant, et ainsi de suite jusqu’à ce que la méthode soit terminée. À la fin, tous les nombres non barrés sont des nombres premiers.

Si l’on poursuit la liste assez longtemps, on peut réaliser que les nombres premiers ont tendance à se faire de plus en plus rares. Il y en a 25 entre 1 et 100, 168 entre 1 et 1.000, 1.129 entre 1 et 10.000. À la fin du XIXe siècle, les mathématiciens français Jacques Hadamard et son congénère belge Charles de la Vallée Poussin ont même énoncé une règle permettant d’estimer la quantité de nombres premiers compris entre 1 et n’importe quel nombre entier extrêmement grand, confirmant la raréfaction progressive des nombres premiers.

Pour autant, même s’ils se font progressivement de moins en moins présents, il existe une infinité de nombres premiers, ce que démontra Euclide il y a environ vingt-trois siècles. Explorer l’ensemble des nombres premiers, c’est comme sillonner une galaxie à la recherche d’un certain type d’astres: plus on avance, moins on en trouve sur son chemin, tout en sachant qu’avec suffisamment de patience, on finira néanmoins par tomber sur le prochain.

Deux par deux rassemblés

C’est la disposition irrégulière des nombres premiers qui continue à fasciner et à interroger. Ils ont beau être de plus en plus rares, il arrive régulièrement que l’on tombe sur plusieurs nombres premiers extrêmement proches l’un de l’autre. Cela semble assez logique chez les petits nombres: il y a par exemple 2 et 3 (qui sont les seuls nombres entiers consécutifs, 2 étant l’unique nombre pair de la liste), mais aussi 11 et 13, 17 et 19, 41 et 43, 107 et 109… Mais c’est nettement plus inattendu lorsque que certains nombres premiers jumeaux (nom donné aux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2) s’avèrent gigantesques. À ce jour, d’après Wikipedia, les deux plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 3 756 801 695 685 × 2666 669 - 1 et 3 756 801 695 685 × 2666 669 + 1, dont l’écriture décimale contient pas moins de 200.700 chiffres.

Au fil des décennies, de nombreux mathématiciens se sont penchés sur cette étrangeté, devenant de plus en plus persuadés qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. Cette conjecture, terme qui désigne une affirmation dont on a tout lieu de penser qu’elle est exacte bien qu’on n’en ait pas encore la preuve, n’a toujours pas été démontrée à ce jour. Mais on commence sérieusement à s’en rapprocher. En 2013, le Chinois Zhang Yitang a prouvé qu’il existait une infinité de couples de nombres premiers dont l’écart entre l’un et l’autre était inférieur à 70 millions. Une découverte loin d’être dérisoire : si 70 millions est effectivement bien plus grand que 2, c’est néanmoins un nombre ridiculement petit si on le «compare» à l’infini.

Pour la petite histoire, la démonstration de Zhang Yitang fut d’autant plus remarquée par le monde des mathématiques qu’il n’était alors qu’un simple maître de conférence de l’université du New Hampshire dont c’était quasiment la première publication. Les résultats de ses travaux résonnèrent d’autant plus comme une véritable déflagration, et lui valurent d’ailleurs d’être assailli d’offres d’emplois.

Si loin, si proche

En 2005, prolongeant à leur façon la méthode d’Eratosthène, les mathématiciens Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yildirim avaient établi qu’il existait une infinité de couples de nombres entiers dont la différence était inférieure à 16. Établi… ou presque. Leur démonstration utilisait –de façon assumée– une propriété qui a été conjecturée mais jamais prouvée. On ne peut donc pas considérer qu’ils aient totalement démontré ce qu’ils avancent… Démontrée à 100%, la découverte de Zhang Yitang était donc autrement plus révolutionnaire, d’autant que personne avant lui n’avait réussi à démontrer une propriété de ce genre, même avec un chiffre encore plus grand que 70 millions.

Depuis, la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux n’a jamais été aussi proche. Alléché par la démonstration de Zhang Yitang, les mathématiciens australiens Terence Tao –lauréat d’une médaille Fields en 2006, à l’âge de 31 ans– et Scott Morrison ont utilisé la plateforme collaborative Polymath pour tenter de trouver un nombre plus satisfaisant que 70 millions. Aidés de leur communauté, ils sont parvenus à abaisser ce palier de façon extrêmement significative. D’abord, en affinant la démonstration du chercheur chinois, ils ont fait descendre cet écart à 4.680. Puis, après avoir constaté que les recherches de Zhang Yitang ne pourraient plus leur permettre d’aller plus loin, ils réexploitèrent les travaux de Goldston, Pintz et Yildirim pour descendre à 600… puis à 256.

Limité à 256

Pour l’heure, il n’a pas été possible de faire mieux que 256, mais tout espoir est permis. Selon le New Scientist, les travaux de la Finlandaise Kaisa Matomäki et du Russe Maksym Radziwill sur la parité du nombre de facteurs dans la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers pourraient permettre d’explorer de nouvelles pistes et de se rapprocher toujours plus près de la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux. Pour donner un exemple de décomposition en facteurs premiers, celle de 2016 est 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 25 x 32 x 71 : elle contient 8 facteurs.

Même avec un écart de 256, la façon dont les nombres premiers semblent répartis a de quoi faire rêver. À de longues étendues désertiques succèdent, de façon irrégulière mais inévitable, des couples de nombres premiers situés vertigineusement loin de zéro, mais terriblement près l’un de l’autre. Il y a quelque chose de réconfortant dans l’idée selon laquelle, même dans l’infiniment lointain, une forme de proximité est possible. Allez savoir pourquoi cela me réchauffe autant le cœur que lorsque, dans le film d’Andrew Stanton, Wall-E tombe amoureux de Eve au beau milieu du désert galactique.

Thomas Messias
Thomas Messias (135 articles)
Prof de maths et journaliste
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