Science & santé

Quelles sont les probabilités de tomber sur la fève en coupant la galette?

Thomas Messias, mis à jour le 05.01.2017 à 11 h 38

Il est toujours assez rageant de passer sur la fève avec le couteau lorsqu'on découpe la sacro-sainte galette des rois. Pour mesurer l'étendue de sa poisse, il fallait sortir sa calculatrice et explorer les blogs et forums de matheux.

Galette des rois | Steph Gray via Flickr CC License by

Galette des rois | Steph Gray via Flickr CC License by

En 2016, on a vu les premières galettes des rois débarquer dans les supermarchés au tout début du mois de décembre. Une façon de piétiner la tradition, l’Epiphanie ayant lieu selon les pays soit le 6 janvier, soit le deuxième dimanche après Noël. Mais aussi un moyen de ravir les amateurs de frangipane qui, comme moi, passeront ensuite une dizaine de mois à attendre fébrilement que revienne la saison de la galette.

Seulement voilà: qui dit plus de galettes dit aussi plus de fèves, et qui dit plus de fèves dit probabilité croissante de tomber sur un os au moment de couper les parts. Que celui ou celle à qui il n’est pas déjà arrivé de devoir cacher la doux trésor à la va-vite dans l’une des parts après l’avoir touchée avec le couteau me jette la première pierre. Mais au fait, quelle est la probabilité que cela arrive?

Comme pour une majorité de problèmes mathématiques, tout est affaire de modélisation. Le problème dépend notamment de la forme et des dimensions de la fève, ainsi que de l’endroit où elle est placée par rapport au centre. Les différentes personnes à s’être intéressées au problème divergent en outre sur le postulat suivant: doit-on considérer que la fève peut se trouver n’importe où dans la galette (y compris pile au centre ou totalement au bord), ou faire confiance à son artisan boulanger qui aura sans doute pris soin de la placer à une distance raisonnable du centre?


Une fève surexposée

Sur le site Omnilogie, on décide effectivement de fixer au préalable la distance d qui sépare la fève du centre de la galette. On choisit également de s’intéresser à une galette de longueur et de largeur différentes, tout en faisant l'hypothèse extrême que la fève serait «étalée sur toute sa longueur», c’est-à-dire surexposée aux coups de couteau éventuels.

On a donc 75% de chances de ne pas tomber sur la fève… et donc 25% d’avoir moins de chance

On appelle alors L la longueur de la fève. Sur le même rayon que la fève, il y a un périmètre de galette égal à 2 x pi x d (longueur d’un cercle de rayon d). La probabilité de tomber sur la fève lorsqu’on donne un coup de couteau en partant du centre et en allant jusqu’au bord (on trace alors un rayon du cercle) est donc égale à p = L / (2 x pi x d)

Autre approximation ensuite: considérer que chacun des coups de couteaux à donner est indépendant des précédents. Ce qui n’est pas franchement exact, puisqu’une fois le premier coup de couteau donné, on va ensuite couper la galette de façon régulière en tenant compte du nombre de parts à obtenir. Mais il semble difficile de faire autrement. S’il y a n parts à effectuer (et donc n coups de couteau à donner), la probabilité de ne jamais tomber sur la fève est donc égale à (1-p) n, selon ce que nous enseigne la loi binomiale. Cette probabilité vaut donc (1 - L / (2 x pi x d))n.

Exemple: si l’on souhaite découper une galette de 27 cm de diamètre en 8 parts, et que l’on suppose que la fève (de 2 cm de long) se trouve à environ 2/3 du rayon par rapport au centre (soit à 9 cm du centre), on obtient la probabilité suivante : (1 – 2 / 18 pi)^8 = 0,75. On a donc 75% de chances de ne pas tomber sur la fève… et donc 25% d’avoir moins de chance.

Captain obvious

Ailleurs, les théories sont toujours plus pointues, et donc assez peu compréhensibles pour qui n’a pas la passion absolue des maths (je vous laisse vous délecter de ces 56 slides). Après avoir fourni un schéma lui permettant d’expliquer sa méthode, un blogueur est arrivé à la conclusion suivante, qu’il présente sous forme d’un diagramme en bâtons: si une fève de 2 cm est placée pile entre le centre et le bord de la galette, la probabilité de tomber sur la fève est d’environ 33% pour 8 parts, et du double pour 16 parts!


Ailleurs, sur ce forum de matheux hardcore, on se propose d’imaginer que la fève est ronde mais qu’elle peut être placée n’importe où dans la galette. Après quelques calculs complexes qui réjouiront les amateurs d’intégrales, et après quelques engueulades typiques des forums spécialisés, nos spécialistes en arrivent à la conclusion suivante. Si la fève est située au centre de la galette, la probabilité de passer le couteau dessus est 100% (merci Captain Obvious). Si elle se situe complètement au bord, la probabilité chute à 25%. Et si elle se trouve quelque part entre les deux, la probabilité est d’environ 58%. Des calculs effectués pour une fève de 2,5 cm de diamètre et pour une galette 8 parts.

La solution ultime

La conclusion, c’est qu’il y a sans doute toute une thèse à écrire sur ce problème de galette et de fève, mais que malgré leurs approches différentes, les experts semblent globalement d’accord pour dire qu’il y a au moins une chance sur quatre pour que vous tombiez sur la fève si vous coupez votre galette en huit parts. Admettons que cette probabilité soit égale à 25%: si vous découpez cinq galettes lors de la période de l’Épiphanie (c’est mon score moyen), vous avez donc 23,7% de chances de ne jamais tomber sur la fève contre 0,1% de chances de tomber dessus les cinq fois. Dans ce dernier cas, il est effectivement temps de vous interroger sur votre karma.

Un cuistot suisse propose de cesser de se prendre la tête et d’adopter cette recette présentée sous forme de boules dont l’une d’entre elles renferme la fameuse fèv : une astuce simplissime qui fait tomber à 0% la probabilité de jouer de malchance. Tout cela sans le moindre calcul.

Thomas Messias
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