Sciences / Parents & enfants

Révisez vos probas du bac avec la crue centennale

Temps de lecture : 3 min

Où l’on apprend qu’il y a deux chances sur trois pour qu’il y ait au moins une crue centennale au cours du siècle à venir.

Montage V.M. pour Slate.fr à partir d’une photo du pont d’Iéna le 4 juin 2016 | Guilhem Vellut via Flickr CC License by
Montage V.M. pour Slate.fr à partir d’une photo du pont d’Iéna le 4 juin 2016 | Guilhem Vellut via Flickr CC License by

On n’a jamais autant parlé de crue centennale que depuis quelques semaines mais la montée des eaux (à Paris ou ailleurs) a visiblement fait tourner la tête de celles et ceux qui emploient ce terme. Il ne s’agit pas d’une crue qui reviendrait pile tous les cent ans, comme si Paris était la cible d’une terrible malédiction la condamnant à finir sous les eaux une fois par siècle. Le terme centennal désigne un phénomène qui, chaque année, a une chance sur cent de se produire. Ce qui est loin d’être la même chose.

Pour le prouver, on pourrait même imaginer que l’un des exercices proposés lors des différentes épreuves de mathématiques du baccalauréat 2016 porte sur ce thème. L’occasion de faire travailler les aspirants bacheliers sur la loi binomiale, enseignée dans différentes filières (aussi bien en S ou en ES que dans certaines filières technologiques comme la voie STL).

Voici donc un exercice qu’il vous est tout à fait possible de résoudre s’il vous reste quelques souvenirs de lycée. Sinon, des sites comme celui de l’Irem de la Réunion vous proposent de faire les calculs à votre place à condition d’entrer vos paramètres (n = 100 et p = 0,01, en ce qui concerne l’exercice ci-dessous).

Énoncé: La crue centennale qui menace Paris est nommée de cette façon parce que, chaque année, la probabilité qu’une telle crue survienne est de 1/100. On se propose d’étudier le nombre de crues centennales pouvant survenir sur un siècle à Paris.

On nomme X la variable aléatoire égale au nombre de crues centennales survenant pendant un siècle. On suppose que la situation météorologique de chaque année est indépendante de celle des autres années.

1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Réponse: on considère qu’il y a répétition de cent expériences identique et indépendantes. Il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli. On appelle «succès» l’événement «la crue centennale a lieu à Paris». La probabilité de succès est p = 0,01. X suit donc la loi binomiale de paramètres 100 et 0,01, notée B (100 ; 0,01).

2) Soit k un entier naturel inférieur ou égal à 100. À l’aide des coefficients binomiaux, écrire l’expression générale de P (X = k) puis en déduire la valeur de P (X = 2). Interpréter le résultat.

La crue centennale n’est donc pas de ces crues ennuyeuses qui se produit une fois par siècle

Réponse:

donc

La probabilité qu’il y ait exactement deux crues au cours des cent prochaines années est 18,5%.

3) Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune crue centennale à Paris au cours des cent prochaines années? Une seule crue?

Réponse:

La probabilité qu’il n’y ait aucune crue centennale à Paris au cours des cent prochaines années est 36,6%. La probabilité qu’il y en ait exactement une est 37%.

4) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une crue au cours des cent prochaines années?

Réponse:

La probabilité qu’il y ait au moins une crue au cours des cent prochaines années est 63,4%.

5) Quelle est la probabilité qu’il y ait une crue ou moins au cours des cent prochaines années?

Réponse (trouvée à l’aide du mode «table» de la calculatrice):

La probabilité qu’il y ait une crue ou moins au cours des cent prochaines années est donc environ 73,6%.

6) Quel est le plus petit entier n tel que P (X ≥ n) soit inférieure ou égale à 0,001? Interpréter le résultat.

Réponse: P (X ≥ n) ≤ 0,001 signifie que P (X ≤ n - 1) ≥ 0,999. À l’aide du mode «table» de la calculatrice, on trouve que le plus petit entier n est égal à 6:

Cela signifie que la probabilité qu’il se produise au moins six crues au cours d’un siècle est inférieure à 0,1%.

Petit bilan: la crue centennale n’est donc pas de ces crues ennuyeuses qui se produit une fois par siècle. Elle peut aussi ne pas se produire de tout le siècle (36,6% de chances), une fois seulement (37%), deux fois (18,5%)... Il y a tout de même environ deux chances sur trois pour qu’il y ait au moins une crue au cours du siècle à venir. Mais, fort heureusement, la probabilité qu’il y en ait maximum une est d’environ trois chances sur quatre.

Plus rassurant encore, il y a moins d’une chance sur mille qu’il se produise au moins six crues au cours des cent prochaines années. Sauf si le réchauffement climatique rend le terme centennal caduc et fait augmenter beaucoup trop rapidement la probabilité que surviennent de telles crues...

Thomas Messias Prof de maths et journaliste

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