Comment les maths sont devenus une question de priorités

Cliche stock photo o' floating teal 'n' orange math equations / TORLEY via Flickr CC License by.

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Et pourquoi les successions d'additions et de multiplications nous rendent fous.

Les mathématiques ne cesseront jamais d’être sources de conflits. En témoignent les réactions hostiles, ou en tout cas circonspectes, des lecteurs et lectrices de Buzzfeed France face à la deuxième question d’un récent questionnaire de culture générale proposé par le site. Pour tout matheux qui se respecte, la question semblait pourtant très simple : déterminer la valeur de l’expression 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x 0 + 1.

Il n’en fallait pas plus pour creuser un fossé avec le reste du monde, celui des gens qui lisent de gauche à droite sans se poser de question (d’autres personnes lisent de droite à gauche, mais le souci serait de toute façon le même). Avec plusieurs sous-catégories: quand certaines personnes, comme notre spécialiste éducation Louise Tourret, ne comprenaient pas où était le hic dans leur raisonnement…

… d’autres affirmaient mordicus (avant de parfois réaliser leur bourde un peu plus tard) que le quiz contenait une erreur dès sa deuxième question.

L’erreur à ne pas commettre était la suivante: considérer les neuf premiers 1 comme une somme valant donc 9, multiplier ensuite ce nombre par 0 et obtenir 0, puis ajouter le 1 final et cocher vaillamment la réponse 1.

La réalité mathématique est toute autre: cette expression vaut en fait 9. Tout se joue au niveau des priorités opératoires, notion capitale abordée jusqu’ici en classe de cinquième. Il suffit de retenir cette simple phrase: la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

Il convient donc de multiplier d’abord le neuvième 1 par 0, et d’ajouter le résultat obtenu (0, pour les moins doués d’entre nous) aux huit premiers 1, sans oublier le 1 situé juste avant le signe égal. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 9. C’est aussi simple que ça. Mais les plus réfractaires aux maths ont cependant de quoi se sentir perdus: pourquoi diable ne pas se contenter de prendre les nombres et les opérations comme ils viennent?

Lors de l’introduction progressive de la notation symbolique en mathématiques (circa 1600), impulsée par le travail et l’aura de mathématiciens tels que René Descartes, il a fallu trouver des astuces afin qu’il n’y ait pas de confusion entre différents calculs. Exemple: la somme de 2 et du produit de 3 par 4 risquait d’être confondue avec le produit de la somme de 2 et de 3 par le nombre 4, car les deux expressions s’écrivaient 2 + 3 x 4. Après un passage par le vinculum (barre de soulignement destinée à indiquer quel calcul effectuer en premier) et une tentative d’utilisation du point comme marqueur de priorité, ce sont finalement les parenthèses qui furent unanimement adoptées au fur et à mesure de l’expansion du calcul littéral et symbolique.

La décision de faire de la multiplication et de la division des opérations prioritaires, et donc de pouvoir se permettre d’ôter les parenthèses autour de ces opérations lorsqu’il n’y a pas de doute possible, relève quant à elle de la pure convention. Pour reprendre les propos de Marc Péronnet, mon prof de maths sup, «un bon mathématicien est un mathématicien paresseux». Autrement dit, l’objectif est de pouvoir se passer du maximum de symboles superflus (le fait de pouvoir ôter les signes de multiplication avant une parenthèse ou une lettre relève de la même ambition). C’est d’ailleurs très déstabilisant pour les élèves de cinquième, qui découvrent coup sur coup le calcul littéral, les priorités opératoires, l’utilité et l’inutilité des parenthèses ou du signe multiplié…

Jusqu’en sixième, le prix de deux cahiers à 80 centimes pièce et de trois stylos à 35 centimes pièces s’écrit (0,80 x 2) + (0,35 x 3). L’année suivante, c’est tout un monde qui s’écroule lorsque les profs de maths en viennent à expliquer aux élèves que les parenthèses en question ne servent à rien. C’est souvent à partir de cet instant qu’une partie de l’humanité décide que les mathématiques, c’est le diable. Dix, vingt ou trente ans plus tard, cette aversion pour tout ce qui ressemble à du calcul, doublée d’une amnésie difficilement blâmable, pousse des adultes disposant pourtant de tous leurs neurones à se faire berner par une bête question de calcul.

C’est à Louise Tourret, belle joueuse, que revient le dernier mot: «Je ne me souvenais plus de cette histoire de priorité, je pensais qu'il fallait des parenthèses. Pourtant, on a dû me l'apprendre au collège. Cela montre combien certains de nos acquis sont fragiles même quand on n'a pas eu de difficultés particulières. Le pire c'est que, comme parent, on va devoir expliquer des trucs à ses enfants... Et véhiculer des erreurs, cela arrive, y compris dans l'aide aux devoirs organisée dans les établissements comme l'avait montré le chercheur Patrick Rayou.» Effectivement, ne me demandez pas d’aider des élèves en histoire-géographie ou en SVT...

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