Existe-t-il un ordre caché des nombres premiers?

P is for Prime Spirals / Robson# via Flickr CC License by.

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Décidément, l'époque est fertile pour les nombres premiers. En janvier dernier, c'était le plus grand premier de Mersenne qui était découvert par le mathématicien Curtis Cooper. Ces jours-ci, le monde des maths s'agite comme une fourmilière dérangée par une allumette. Deux chercheurs de l'Université de Stanford, Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver, auraient mis au jour une propriété à la fois ultra-simple (disent-ils) et jusqu'ici inconnue des nombres premiers. Ces derniers seraient en réalité bien moins aléatoires qu'on le pensait et pourraient se succéder selon une logique bien à eux. Leur Da Vinci Code, en gros, un mélange subtil d'ordre et de hasard.

À l'exception de 2 et de 5, tous les nombres premiers se terminent obligatoirement par 1, 3, 7 ou 9 selon une probabilité jusqu’ici considérée comme équivalente. Sauf qu'en fouillant dans le premier milliard de la liste, Soundararajan et Oliver (et de très gros processeurs) ont calculé qu'un premier se terminant par 1 avait moins de chances d'être suivi par un autre se terminant lui aussi par 1. En l'espèce, un nombre premier se terminant par 1 a 18,5% de chances d'être suivi par un frère de dernier chiffre. Quant aux premiers se terminant par 3 ou 7, ils ont chacun 30% de chances de succéder à un premier se terminant par 1, tandis qu'un premier en 9 semble succéder à un premier en 1 dans environ 22% des cas. De même, selon les mathématiciens, un nombre premier se terminant par 9 a à peu près 65% de chances supplémentaires d’être suivi par un nombre premier se terminant par 1 que par un autre se terminant par 9.

Un phénomène qui ne devrait pas exister si les premiers étaient véritablement aléatoires. Sur d'aussi grands nombres, la succession des nombres premiers devrait être bien plus proche du hasard statistique et toutes les terminaisons devraient donc avoir 25% de chances de se succéder les unes aux autres. Sauf que «les nombres premiers n'aiment pas se répéter», commente Oliver.

La découverte est à l'exact opposé de ce qu'auraient prédit la plupart des mathématiciens, précise Ken Ono dans Quanta. Quand le théoricien des nombres de l'Université Emory d'Atlanta a entendu la nouvelle, il s'est dit «estomaqué» et a pensé à un problème informatique. Après s'être penché sur l'étude, Ono revu son scepticisme à la baisse: «Maintenant, il faut que je repense la manière dont j'enseigne la théorie analytique des nombres à mes étudiants.»

Une surprise partagée par Andrew Granville, chercheur en théorie des nombres à l'Université de Montréal et à l'University College de Londres. «C'est fou», dit-il, «on étudie les nombres premiers depuis très longtemps et personne ne l'avait encore remarqué».

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