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Les municipales, une élection pour profs de maths

Mathematics *Explore April 24, 2013 #4* (at one time). Tom Brown via Flickr CC License by.

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Pour comprendre la répartition des sièges et ses paradoxes, il faut se replonger dans ces bonnes vieilles notions que sont le quotient, le diviseur et le reste.

Les amoureux des chiffres peuvent se frotter les mains: l’année politique 2014 constitue pour eux un immense terrain de jeu. Rien de plus ludique que les élections municipales et européennes, scrutins proportionnels plurinominaux où le nombre de sièges attribué à chaque liste dépend (principalement) du nombre de voix recueillies.

D’un point de vue mathématique, les années en -2 et en -7, réservées à la présidentielle et aux législatives (jusqu’à ce qu’une destitution ou une dissolution vienne casser cette routine quinquennale), sont autrement moins amusantes: le vainqueur est élu, ses challengers malheureux repartent bredouilles, les calculatrices restent au vestiaire.

Un scrutin comme celui des municipales est d’autant plus passionnant mathématiquement que le nombre de sièges qu’obtiendra chaque liste au conseil municipal est loin d’être simplement proportionnel au pourcentage effectué. D’abord parce qu’il y aurait peu de chances que cela tombe «juste», et qu’il faut bien trouver un moyen de répartir les miettes restantes; ensuite parce que la liste arrivée première a droit à un bonus non négligeable (la moitié des sièges) afin de pouvoir mener la politique envisagée. De ce fait, le calcul permettant de répartir les sièges est légèrement plus complexe qu’un bon vieux produit en croix.

Exemple: bien que n’ayant réuni «que» 61% des suffrages exprimés lors de son élection à la mairie de Bordeaux dimanche 23 mars, Alain Juppé aura la joie de voir les membres de sa liste occuper 52 des 61 sièges du conseil municipal de la ville, soit plus de 85% des sièges. Dans l’article qui suit, on imagine ce qui aurait pu se produire à Bordeaux selon le choix de la méthode à adopter: les variations sont évidemment minimes mais bel et bien existantes.

Les chiffres à Bordeaux

61 sièges à pourvoir. Le vainqueur (Alain Juppé) en remporte automatiquement la moitié (arrondie à l’entier supérieur –on arrondit à l'entier inférieur quand le nombre est inférieur à quatre, par exemple dans le IIIe arrondissement de Paris), soit 31. Il reste donc 30 sièges à répartir.

Les listes ayant réuni moins de 5% des suffrages exprimés ne sont pas comptabilisées dans les calculs. Restent donc 30 sièges à répartir entre 3 listes: celles d’Alain Juppé, Vincent Feltesse (PS) et Jacques Colombier (FN), dont les voix seront qualifiées par la suite comme «utiles» (dans le sens où, contrairement à celles de leurs adversaires ayant fait moins de 5%, elles sont nécessaires à la suite de nos calculs).

Pour les répartir, on distingue deux grand types de méthodes: celles dites à plus fort reste et celles dites à plus forte moyenne.

Méthode de Hare: si la France élisait ses conseillers municipaux comme les eurodéputés italiens

La première des trois méthodes de répartition à plus fort reste, la méthode de Hare, est née du cerveau de Thomas Hare, réformiste britannique du XIXème qui popularisa la représentation proportionnelle sur une grande partie de la planète grâce à un algorithme plutôt simple à manipuler. Elle a été lentement mais sûrement abandonnée (sauf pour les élections européennes en Italie et en Allemagne), à cause du paradoxe de l’Alabama, résultat d’une expérience menée en 1880 qui montre que l’augmentation du nombre de sièges à pourvoir peut étrangement mener à la diminution du nombre de sièges attribués à certaines listes.

Ici, comme dans toutes les méthodes d'ailleurs, on calcule un quotient électoral (QE) égal au nombre de voix «utiles» (n) divisé par le nombre de sièges: il est d'environ 2.278 dans le cas de Bordeaux. Pour calculer le nombre de sièges obtenu par chaque liste (S1), on divise son nombre de voix par le quotient électoral et on arrondit à l’entier inférieur. On calcule ensuite le reste de cette division et le plus grand reste fait gagner un siège à la liste concernée (S2). S’il reste d’autres sièges à attribuer, on poursuit sur ce mode…

Méthode de Hagenbach-Bischoff: si la France élisait ses conseillers municipaux comme les eurodéputés belges

Une autre méthode est celle de Hagenbach-Bischoff, physicien suisse qui s'intéressa aux travaux de Hare presque par hasard et finit par en proposer une variante où on divise le nombre de voix par le nombre de sièges à pourvoir plus 1 (soit 31 à Bordeaux), d'où un quotient électoral moins élevé.

Cette variation est née du constat suivant: augmenter artificiellement le diviseur dans le calcul du quotient électoral, c’est réduire ce quotient, donc réduire le nombre de votes nécessaires pour obtenir un siège. L’objectif de Hagenbach-Bischoff n’est pas de favoriser les petites listes (on le voit d’ailleurs sur l’exemple de Bordeaux), mais de rendre la colonne s1 de notre tableau plus efficace: un quotient électoral plus faible est souvent synonyme d’un plus grand nombre de sièges attribués au premier tour de la méthode.

Pour Bordeaux, cette méthode, utilisée par quelques pays comme la Suisse, la Belgique et le Luxembourg, notamment pour les élections européennes. permet effectivement à la liste Juppé de gagner d’entrée un siège supplémentaire, mettant fin à la répartition avant même la deuxième étape.

Méthode de Droop: si la France élisait ses conseillers municipaux comme les députés sud-africains

Variante de cette méthode, la méthode de Droop (du nom de Henry Richmond Droop, mathématicien anglais de la fin du XIXème) calcule le quotient électoral de la même manière avant de lui ajouter 1 puis d’arrondir à l’entier inférieur, soit ici 2.205. Utilisée en Afrique du Sud, elle est décrite par les spécialistes comme la méthode à plus petit quotient électoral (donc favorisant les petites listes) permettant de ne pas distribuer plus de sièges que le nombre autorisé.

Son intérêt est donc réellement d’ordre mathématique: c’est la plus parfaite optimisation de la méthode à plus fort reste, puisque tout quotient électoral plus petit risquerait de mener à la distribution d’un trop grand nombre de sièges.

Méthode Imperiali: si la France élisait ses conseillers municipaux comme les députés équatoriens

Une autre méthode possible est due au politicien belge Pierre Imperiali, qui la popularisa à la fin du XIXème: pour le quotient électoral, on divise à présent le nombre de voix par le nombre de sièges à pourvoir, augmenté de 2, soit un résultat d'un peu moins de 2.167.

Elle a un inconvénient avéré: elle peut aboutir à la distribution d’un trop grand nombre de sièges. C’est le cas ici, puisque 62 sièges sont distribués alors que 61 sont disponibles. Dans cette situation, il est conseillé de revenir à la méthode précédente (ou plutôt à sa variante décrite plus haut, la méthode de Droop).

Discutable mathématiquement puisqu’inutilisable dans une partie des cas, la méthode proposée par Imperiali vise à être encore plus efficace en terme de nombre d’étapes que celles de Hagenbach-Bischoff et Droop: en réduisant encore le quotient électoral, on vise à distribuer un grand nombre de sièges d’entrée. C’est parfois vrai, parfois similaire, parfois bon à jeter à la poubelle (comme ici).

Le désir d’optimisation à outrance finit par trouver des limites mathématiques qu’il n’est pas bon de franchir. Après l’abandon de cette méthode par l’Italie, qui l’utilisa jusqu’en 1993 pour la constitution de sa Chambre des députés, seul l’Équateur continue en fait de l’utiliser, quitte à devoir se rabattre sur les précédentes en cas de résultats impossibles…

La méthode de Jefferson ou d'Hondt, celle utilisée en France

Utilisant également le quotient électoral (celui de Hare est le plus souvent utilisé), les méthodes à la plus forte moyenne, aujourd'hui les plus utilisées, basent la répartition des sièges restants sur cette simple question: si on ajoutait un siège à chaque liste, laquelle aurait alors le plus grand nombre de voix par siège? La liste en question remporte alors le siège proposé.

Là encore, plusieurs méthodes existent. La première est baptisée méthode de Jefferson, et doit son nom à Thomas Jefferson lui-même, président des Etats-Unis de 1801 à 1809 –même s’il est permis de douter du fait qu'il l'a trouvée tout seul.

Une de ses variantes est la méthode d'Hondt, du nom d'un avocat, juriste et mathématicien belge. Comme il y a trente sièges à attribuer, on anticipe en calculant la moyenne de voix par siège en divisant chaque nombre de voix par tous les nombres entre 1 et 30. Les 30 meilleures moyennes obtenues (en italique ci-dessous) remportent les sièges vacants…

Ces deux méthodes sont en fait mathématiquement identiques: seule la procédure diffère. De nos jours, il arrive d’ailleurs que leurs deux noms se trouvent confondus, alors que c’est techniquement la méthode de Jefferson, plus claire et plus concise, qui est en fait employée.

La méthode Sainte-Laguë: si la France élisait ses conseillers municipaux comme des députés allemands

En 1910, le mathématicien André Sainte-Laguë, par ailleurs spécialiste de la théorie des graphes, reprend le principe de la méthode d’Hondt en l’affectant de coefficients. Les nombres 1 à 30 des colonnes des tableaux précédents sont alors remplacés par les 30 premiers nombres impairs, c’est-à-dire 1, 3, et ainsi de suite jusqu’à 59. Ces coefficients ont été choisis par le mathématicien en partant du constat que le nombre de sièges n’avait pas une importance si élevée sur le pouvoir de décision.

Certains pays (Allemagne, Bosnie-Herzégovine, Norvège, Nouvelle-Zélande, Suède, Danemark...) emploient aujourd'hui cette méthode, mais dans sa version dite modifiée, en remplaçant le coefficient 1 par 1,4, pour aplanir à nouveau les écarts.

La méthode de Sainte-Laguë s’apparente à un bricolage en règle de la méthode d’Hondt, les coefficients semblant avoir été choisis expérimentalement dans un but précis et honorable: celui de laisser davantage d’espace aux listes les moins populaires. Choisir des coefficients plus espacés (on passe ici de 1…30 à 1…59) permet en effet de faire chuter plus rapidement la moyenne des gros candidats. On imagine que cette utilisation des nombres impairs semblait pour Sainte-Laguë constituer le plus juste des choix.

Différences et paradoxes

Si aucune de ces méthodes n'influerait sur le nombre de sièges à attribuer à la liste FN de Jacques Colombier (2), l’un des sièges bascule selon les méthodes entre la liste d’Alain Juppé et celle de Vincent Feltesse. Le procédé en vigueur en France permet donc à madame Marie-Françoise Lire, 52ème sur la liste UMP, de damer le pion à madame Emmanuelle Fourneyron, 8ème sur la liste PS, qui aurait sans doute préféré que les méthode de Hare ou de Sainte-Laguë soient employées…

La preuve que le système électoral retenu est tout sauf neutre, d'autant que les différentes méthodes retenues sont généralement assorties d'un seuil de représentation: aux municipales, il faut figurer sur une liste recueillant au moins 10% lors du tour décisif pour obtenir des élus.

A Paris, les 6,26% d'électeurs du FN ne seront aussi pas représentés. Cela pourrait aussi être le cas des 4,94% d'électeurs du Parti de gauche, selon le score que réalisera la seule candidate du parti qui a dépassé les 10%, Danielle Simonnet, en triangulaire face à l'UMP et au PS dans le XXe arrondissement. Comme le prouve notre simulateur électoral, si elle réalise pile 12% des voix, elle obtiendra 1 siège sur les 14 disponibles si la liste PS réalise:

  • entre 40% et 48% des voix
  • entre 52% et 60% des voix
  • entre 64% et 72% des voix

En revanche, elle repartira bredouille si la liste PS réalise:

  • entre 36% et 40% des voix
  • entre 48% et 52% des voix
  • entre 60% et 64% des voix

Une situation ubuesque qui prouve que le modèle mathématique idéal pour les proportionnelles reste encore à inventer.

Thomas Messias

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